Física Aplicada - Aula 03.2 - Cálculo da massa da terra

Cavendish, Henry (1731–1810)

Henry Cavendish foi um químico e físico inglês que demonstrou que o hidrogênio ("ar inflamável") era um gás distinto , que a água era um composto e não uma substância elementar, e que a composição da atmosfera era mais ou menos constante. Inicialmente, ele o ajudava a conduzir experimentos sobre calor, eletricidade e magnetismo, mas mais tarde usou a casa para realizar a maior parte de suas pesquisas em eletricidade e seus experimentos químicos.

Em 1798, Cavendish também utilizou uma balança de torção de fibra de quartzo para medir a massa da Terra (veja o diagrama à direita). Duas pequenas esferas de chumbo foram atraídas por duas esferas de chumbo maiores e, a partir da magnitude da deflexão, calculou-se a força de atração entre as esferas. Para determinar a massa da Terra, Cavendish comparou essa força com a atração gravitacional da Terra sobre as esferas (ou seja, seu peso).

Cálculo da massa da terra

A Terra é o terceiro planeta mais próximo do Sol e o quinto maior dos planetas do Sistema Solar. É o único corpo celeste conhecido onde há existência de vida.

Uma das consequências das Leis de Newton, Galileu e Kepler é a determinação da Massa da Terra. 

Um dos marcos mais importantes nesse processo foi a medição da constante gravitacional (G), realizada por Henry Cavendish em 1798 com o famoso experimento da balança de torção. Com essa constante conhecida, foi possível relacionar a força de atração entre dois corpos com suas massas e calcular a massa da Terra.

O experimento de Cavendish consiste de uma haste de madeira suspensa horizontalmente por um fio, com duas pequenas bolas de chumbo presas a cada extremidade. Mais duas bolas de chumbo maciças foram colocadas perto das bolas menores. A gravidade puxaria livremente a haste suspensa e as pequenas esferas em direção às bolas maiores.

Combinando o que se sabe sobre o movimento circular com o que se sabe sobre a força gravitacional, chega-se a uma relação matemática para a massa da Terra: Mt = gr²/G.

Determinando a Massa da Terra

1. 
   Mt é igual à massa da Terra, m.g é o peso de uma pequena massa atraída pelo efeito da gravidade terrestre dada por g=9,80665 m/s², valor este atualmente aceito para a gravidade ao nível do mar, que foi a primeira tentativa de Galileu na elaboração da Lei da Queda dos Corpos.
2. O valor para o raio da Terra atualmente aceito é de r = 6.378,160 km, primeiramente calculado por Eratóstenes de Cirene (276-194 a.C.), quando encontrou um raio de 6469,563 km, muito próximo do valor hoje aceito.
3. A constante G  tem um valor muito pequeno e não foi descoberto seu valor por Newton, somente algum tempo depois Henry Cavendish, em 1797, através de um experimento em laboratório, encontrou numericamente seu valor com uma precisão de 1%: G = 6,67428 x 10^-11 N.m²/kg². 

Essa descoberta revelou novamente a importância crucial de se conhecer G para encontrar a massa da Terra e resulta, mais uma vez, em 5,97 trilhões de trilhões de quilogramas.

Força gravitacional entre o Sol e a Terra

 Qual a intensidade aproximada da força de atração gravitacional entre o Sol, cuja massa é  2,0 x 10³⁰ kg, e a Terra, cuja massa é 6,0 x 10²⁴ kg,  estando a uma distância de 1,5 x x 10¹¹  m ?

Considere a constante de gravitação universal como 6,7 x 10^-11 N.m²/kg².

Calcularemos a força gravitacional entre o Sol e a Terra utilizando a fórmula da lei da gravitação universal: 

F = 6,7 x 10^-11 x 2,0 x 10³⁰  x  6,0 x 10²⁴ / (1,5 x  10¹¹)²  

    =>  8,04 x 10⁴⁴ / 2,25 x 10²²  

    =>  3,57 x 10²²  [Kg m/s² ] 

F =   3,57 x 10²²  N    

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