Física Aplicada - Aula 10 - Polias e roldanas: fixas e móveis

Polias ou roldanas são dispositivos mecânicos usados para tornar mais cômodo ou reduzir a força necessária para deslocar objetos com um grande peso. Esse tipo de máquina simples é composta por uma ou mais rodas, que giram em torno de um eixo central e possui um sulco por onde passa uma corda ou fio flexível, conforme a figura abaixo:
Relatos históricos indicam que as roldanas foram usadas pela primeira vez por Arquimedes (287 a.C. - 212 a.C.) para deslocar um navio.
Arquimedes foi um físico, matemático e inventor nascido em 287 a.C na colônia grega de Siracusa, na Sicília. Filho do astrônomo Fídeas, ele estudou na escola de Matemática de Alexandria, na qual teve contato com o que havia de mais tecnológico na época.
As polias podem ser móveis, quando apresentam movimento de translação, ou fixas, quando não possuem este movimento. Na prática, é muito comum utilizar a associação destes dois tipos de roldanas.

 Polia fixa

No dia a dia, você pode encontrar polias em oficinas, academias ou ate em obras. O objetivo desse instrumento é redirecionar a força que precisa ser aplicada. 

Figura 2 – Força aplicada a uma polia fixa

A polia fixa tem o seu eixo preso em algum ponto apoio, portanto, apresenta apenas movimento de rotação, não sendo possível o movimento de translação.

Elas modificam apenas o sentido e a direção da força motora que equilibra o peso. Desta forma, são utilizadas para tornar mais cômodo o trabalho de puxar um objeto.

Graças e esse instrumento que o pedreiro consegue fazer um saco de areia levantar puxando uma corda para baixo. Imagine um sistema com uma polia igual ao da figura 2.

Se o homem desejar manter a caixa em equilíbrio (lembre-se que equilíbrio é aplicar força resultante = 0) é necessário que todas as forças existentes na caixa se equilibrem. Para isso, temos a força peso da caixa em equilíbrio com a tração aplicada pelo fio. 𝑇 = 𝑃 .

Note que, como é o homem que esta puxando a corda, a força de tração aplicada pela corda é a força que o homem faz para puxar a corda. Logo: 𝐹=𝑃 .

Nas polias fixas não verificamos uma redução no esforço necessário para movimentar um objeto. Portanto, o módulo da força motora será igual ao módulo da força resistente (peso da carga a ser transportada).

Esse é um exemplo de polia fixa, onde essa polia fica presa em uma estrutura e só rotaciona. Mas podemos também ter um sistema com polias moveis como é o caso da figura 3.

Polia móvel

Diferente das polias fixas, as móveis possuem o eixo livre, desta maneira, possuem movimento de rotação e também de translação.

Figura 3 – Força aplicada se divide na  polia móvel

A força resistente que deve ser equilibrada encontra-se no eixo da roldana, enquanto a força motora é aplicada no extremo livre da corda.

A grande vantagem do uso das roldanas móveis é que reduz o valor da força motora necessária para movimentar um determinado corpo, entretanto, um comprimento maior de corda deverá ser puxado.

Diferente da polia fixa, onde o objetivo é apenas redirecionar (mudar direção e sentido) a força a ser aplicada, o objetivo da polia móvel é diminuir o modulo da força necessária para deixar um peso em equilíbrio (além de redirecionar a força). Para entender isso bem, imagine que alguém puxa a corda da figura 4 com o objetivo de deixar o bloco cinza em equilíbrio.

Figura 4 – Dinâmica de forças em uma polia móvel

Ao puxar a corda, você aplica uma força para mover a roldana móvel e esse movimento levantar o peso. Note que como a roldana móvel apresenta dois fios: um conectado a roldana fixa e outro ao teto. Por conta disso, a força peso se equilibra com a tração dos dois fios, fazendo com que parte da força vá para a pessoa que exerce a força e a outra parte seja feita pelo teto. Para a situação da figura 4 podemos dizer que a força que a pessoa precisa aplicar para levantar um corpo é de: 𝐹 = 𝑃/2.

Essa formula está presa a situação da figura 3, onde temos apenas uma roldana móvel, mas podemos montar uma expressão generalizada para poder encontrar o valor da força para qualquer numero de roldanas: 𝐹 = 𝑃/2ⁿ. Sendo “n” o numero de roldanas móveis que o sistema apresenta.

Quanto mais polias móveis, menor a força necessária, mas maior a distância que a corda precisa ser puxada, mantendo a conservação de energia (trabalho = força x distância). 

Fig. Ex. 01

Exercícios - Polias e Roldanas

Ex. 01 - (UFU-MG) - Na figura abaixo despreze as forças de atrito e calcule o valor da carga Q, sabendo que o rapaz exerce uma força de 25N para mantê-la em equilíbrio.

Resolução P₁: A polia superior (1) é fixa, logo a tração no fio da polia é a mesma: T₁ = F => T₁ = 25 N;

Resolução P₂: A polia intermediária (2) é móvel, logo a tração no fio da polia se divide: T₁ = T₂ / 2 => T₂= 25 x 2 => T₂ = 50 N;

Resolução P₃: A polia inferior (3) também é móvel, logo a tração no fio da polia novamente se divide: T₃= T₂ / 2 => T₃= 50 x 2 => T₃ = Q = 100 N;

Fig. Ex. 02

Ex. 02 - (FUVEST-SP) - Considere o esquema representado na figura abaixo. As roldanas e a corda são ideais. O corpo suspenso da roldana móvel tem peso de 550N.

a) Qual o módulo da força vertical (para baixo) que o homem deve exercer sobre a corda, para equilibrar o sistema?

Resolução P₁: A polia inferior (1) é móvel, logo a tração no fio da polia se divide: T₁ = P / 2 => T₁ = 550 / 2 => T₁ = 225 N;

Resolução P₂ : A polia superior (2) é fixa, logo a tração no fio da polia é a mesma: F = T₁ => F = 225 N;

b) Para cada 1 metro de corda que o homem puxa, de quanto se eleva o corpo suspenso?

Resolução b: Como a força caiu pela metade o deslocamento é o dobro, logo o corpo se leva 0,5 metros para cada metro de corda puxado.

Fig. Ex. 03

Ex. 03 - (MACKENZIE-SP) - Dispõe-se de um conjunto de fios e polias ideais para um determinado experimento. Quatro dessas polias são associadas conforme a ilustração abaixo, sendo três móveis e uma fixa. No fio que passa pela polia fixa, suspende-se o corpo de massa m e o conjunto é mantido em repouso por estar preso ao solo, por meio de fios e de um dinamômetro (d) de massa desprezível, que registra 400N. 

Qual é o valor da massa do corpo?

Resolução P_1-4: Como são 3 polias móveis, a tração no fio da polia se divide por 2³ = 8 . Então: 𝐹 = 𝑃 / 2ⁿ => 400 = 𝑃 / 8 => P = 50 N;
Resolução M₁ :  Admitindo g=10m/s² temos: P = M . g => 50 = M . 10 => M = 50/10 => M = 5 Kg;

Fig. Ex. 04

Ex. 04 - (UFABC-SP) - Um mecânico afirma ao seu assistente que é possível erguer e manter um carro no alto e em equilíbrio estático, usando-se um contrapeso mais leve do que o carro. A figura mostra, fora de escala, o esquema sugerido pelo mecânico para obter o seu intento.

Considerando as polias e os cabos como ideais e, ainda, os cabos convenientemente presos ao carro para que não haja movimento de rotação, determine a massa mínima do contrapeso e o valor da força que o cabo central exerce sobre o carro, com massa de 700 kg, quando esse se encontra suspenso e em equilíbrio estático. Dado: Adote g = 10 m/s².

Resolução P_1-3: Como são 2 polias móveis, a tração no fio da polia se divide por 2² = 4 . Então: 𝐹 = 𝑃 / 2ⁿ => 700 x 10 = 𝑃 / 4 => P = 1750 N;
Resolução C₁ :  Admitindo g=10m/s² temos: P = M . g => 1750 = M . 10 => M = 1750/10 => M = 175 Kg;

Fig. Ex. 05

Ex. 05 - (CESGRANRIO-RJ) - Um corpo de peso P encontra-se em equilíbrio devido à ação da força de intensidade F aplicada pelo homem da figura abaixo.

Os pontos A, B e C são os pontos de contato entre os fios e a superfície. A força que a superfíe exerce sobre os fios nos pontos A, B e C são respectivamente.

a) P/8, P/4, P/2      

b) P/8, P/2, P/4    

c) P/2, P/4, P/8     

d) P, P/2, P/4     

e) iguais a P

Fig. Ex. 06

Ex. 06 - (CEFET-SP) - Embora abrigue toda uma floresta, o solo amazônico constitui uma fina camada fértil. Após uma temporada de chuvas, um caminhão ficou atolado no solo desmatado. Rapidamente, providenciaram alguns cabos de aço e quatro roldanas.

Aproveitando-se da enorme inércia de uma colheitadeira, montaram a máquina simples da figura.

A solução encontrada permite que uma força resistente FR seja vencida por uma força potente FP

(A) duas vezes menor.

(B) quatro vezes menor.

(C) seis vezes menor.

(D) oito vezes menor.

(E) dezesseis vezes menor.

Fig. Ex. 07

Ex. 07 - (FUVEST-SP) - As figuras mostram dois arranjos (A e B) de polias construídos para erguer um corpo de massa M=8kg. As polias e os fios são ideais. Calcule as forças FA e FB, em Newton, necessária para manter o corpo suspenso e em repouso nos dois casos. (Considere g=10m/s²).

Resolução A_1-3: Como são 3 polias fixas, a tração no fio da polia não se divide. Então: 𝐹 = 𝑃 => 𝐹 = M . g => F = 8 x 10 => F = 80 N;

Resolução B_1-3: Como são 2 polias fixas e uma móvel, a tração no fio da polia não se divide por 2, então: 𝐹 = 𝑃/2 => 𝐹 = (M . g)/2 => F = (8 x 10) / 2 => F = 80 / 2 => F = 40 N;

Fig. Ex. 08 e 09.

Ex. 08 - (MACKENZIE-SP) - Admita que sua massa seja 60kg e que você esteja sobre uma balança, dentro da cabine de um elevador. Sendo g=10m/s2 e a balança calibrada em newtons, a indicação por ela fornecida, quando a cabine desce com aceleração constante de 3m/s², é:

Resolução E₁: Como são 2 forças de aceleração agindo sobre o corpo elas irão se somar, se o elevador estiver subindo, então: 𝐹 = M . (g + a) => F = 60 (10+ 2) => F = 60 . 12 => F = 720 N;

Ex. 09 - (UFMG-MG) - Qual é o peso aparente de um corpo de massa 10 kg que está dentro de um elevador que tem uma aceleração de 5m/s², dirigida para baixo? (admita g=10m/s²).

Resolução E₂: Como são 2 forças, uma de aceleração e outra ao contrário, agindo sobre o corpo elas irão se subtrair, pois o elevador está descendo, então: 𝐹 = M . (g - a) => F = 10 (10 - 5) => F = 10 . 5 => F = 50 N;

Resolução C₁ : Como o elevador está descendo a sacola irá parecer mais leve, sendo g=10m/s² temos: P = M . g => 50 = M . 10 => M = 50/10 => M = 5 Kg;

Ex. 10 - (UFB) - Um elevador de massa 1.000kg está subindo e acelerando com a=3m/s². No interior de sua cabine há uma pessoa de massa 70kg que se encontra sobre uma balança calibrada em newtons.

Fig. Ex. 09 e 10.

Considere g=10m/s² e despreze os atritos:

a) Calcule a indicação da balança

b) Determine a intensidade da força de tração em cada um dos três cabos do elevador da figura acima?

c) Se o elevador cair em queda livre (a=g), então não haverá compressão entre a balança e a pessoa e a mesma terá a impressão de “ter perdido peso”. Normalmente é usada em elevadores especiais ou em aviões em queda livre para acostumar os astronautas com a “ausência da gravidade”. Pense e responda: O que aconteceria se o elevador cair com aceleração a, tal que a > g?

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