Física Aplicada

sexta-feira, 16 de janeiro de 2026

Física Aplicada - Aula 13 - Transmissão de movimento com engrenagens e polias

Registros históricos - Engrenagens
Não há um único inventor conhecido da roda dentada, pois ela evoluiu a partir de mecanismos rudimentares de engrenagem que surgiram em diferentes civilizações antigas. Registros históricos indicam o uso de engrenagens primitivas, provavelmente feitas de madeira, em mecanismos simples por volta de 1000 a.C.
Fig. 1 - Desenhos de Leonardo da Vinci
sobre invenções de Arquimedes
Os mecânicos gregos de Alexandria foram pioneiros no desenvolvimento de engrenagens mais sofisticadas, que foram aprimoradas por figuras como Arquimedes.
O inventor alexandrino Héron usou engrenagens em um hodômetro (medidor de distância) por volta de 100 a.C.
As primeiras descrições escritas sobre engrenagens foram feitas por Aristóteles, no século 4 a.c. Ele mencionou elementos como parafuso sem-fim e coroa em seus escritos.
Inventor, Leonardo Da Vinci esboçou e projetou diversas ferramentas e máquinas. Imagine dentro de um relógio mecânico, por exemplo, onde uma engrenagem movimenta a outra, uma engrenagem pequena movimenta uma maior. Se tiver um pequeno erro na primeira volta da primeira engrenagem, o erro será grande na engrenagem grande. Isso não pode acontecer, por isso a necessidade da precisão.

Transmissão de movimento
A transmissão do movimento circular de uma polia para outra, pode ser feita de dois modos:
Utilizando-se uma correia ou uma corrente;
Estabelecendo-se um contato direto entre as polias.
Fig. 2 - Transmissão de movimento
por correia dentada.
Para não haver deslizamento ou escorregamento são usadas engrenagens cujos dentes se encaixam nos elos da corrente ou, no caso do contato, há uma adaptação dos dentes das engrenagens.
Após o “contato” e estabelecido o movimento circular iremos fazer algumas análises.
Sejam duas rodas ligadas através de uma correia e o raio (r1 é maior que o r2) no qual a transmissão ocorre da roda de menor raio para a de maior.
A velocidade angular se relaciona com a frequência por: Angular: φ = ω.t.
Quanto à velocidade linear/tangencial (V = ω . R), seu valor é diretamente proporcional ao raio R da trajetória descrita; pois, geometricamente, o perímetro da circunferência desenhada no movimento equivale à distância percorrida.

Esquematicamente, temos na primeira figura a transmissão por correia e na segunda o contato direto.
Não havendo escorregamento os pontos periféricos das polias têm a mesma velocidade linear. Assim, vem: V_A = V_B(velocidade periférica.
Sendo V = ω.R e ω = 2π.f, resulta:
ω_A.R_A = ω_B.R_B
f_A.R_A = f_B.R_B

Relação de Transmissão
Em algumas situações é necessário transferir o movimento circular de um ponto para outro, para isso usamos o que chamamos de transmissão de movimento circular, que pode ser vários tipos. Um exemplo cotidiano de transmissão de movimento circular está nos automóveis, nesses veículos o movimento circular do motor é transferido para as rodas por meio do que chamamos de “transmissão” ou “câmbio”.
A relação de transmissão de movimento circular é um valor numérico, geralmente expressado em forma de fração que nos permite encontrar a diferença de velocidade angular e consequente redução ou ampliação do torque entre dois eixos que são unidos por uma transmissão de movimento circular.
A diferença de velocidade entre os eixos ocorre devido a diferença dos raios das polias ou rodas de fricção, bem como a diferença entre o número de dentes das engrenagens nos casos em que essas são usadas.
Fig. 4 - Polias (a) e Engrenagens (b).
Considerando no esquema abaixo ( figura 8 ) Ra e n1 como raio da polia motora e número de dentes da engrenagem motora respectivamente, podemos dizer que: Para os itens a seguir, considere a polia a e engrenagem 1, como polia e engrenagem motora.

Figura 8: Diagrama esquemático de (a) polias acopladas com correia plana e (b) engrenamento.

Se Ra = Rb a relação de transmissão é Rb / Ra = 1 / 1 o que lemos “um para um”. Nesse caso as duas polias possuem a mesma velocidade angular. O mesmo ocorre nos casos em que n1 = n2.
Se Ra < Rb, por exemplo Ra = 1 e Rb = 10, a relação fica Rb / Ra = 10 / 1 e lemos “dez para um”, nesse caso dizemos que houve uma redução da velocidade angular de a para b. As reduções de velocidade angular quase sempre estão associadas à necessidade de ampliação do torque disponível no conjunto. O mesmo ocorre nos casos em que n1 < n2.
Se Ra > Rb, por exemplo Ra = 10 e Rb = 2, a relação fica Rb / Ra = 2 / 10 e lemos “dois para dez”, nessa situação dizemos que houve uma ampliação da velocidade angular de a para b. As ampliações de velocidade têm como consequência uma diminuição do torque. O mesmo também ocorre nos casos em que n1 > n2.

Exercícios sobre engrenagens

Como exemplo, podemos citar duas polias ligadas por uma correia com raios de 20 cm e 50 cm cada. A polia de menor raio gira com uma frequência equivalente a 50 Hz. Com qual frequência a polia maior estará girando?

Resolução: f_A.R_A = f_B.R => 50 . 0,2 = f . 0,5 => 10 = 0,5.f => f = 10 / 0,5 => f = 20Hz.

EX 01. (Unicamp) - Considere as três engrenagens acopladas simbolizadas na figura a seguir. A engrenagem A tem 50 dentes e gira no sentido horário, indicado na figura, com velocidade angular de 100 rpm (rotação por minuto). A engrenagem B tem 100 dentes e a C tem 20 dentes.

a) Qual é o sentido de rotação da engrenagem C?

Resolução: A engrenagem C gira no sentido horário.

b) Quanto vale a velocidade tangencial da engrenagem A em dentes/min?

Resolução: V_A = ω . R=> V_A = 50 . 100 => V_A = 5000 dentes/min.

c) Qual é a velocidade angular de rotação (em rpm) da engrenagem B?

Resolução: V_A = V_B => 5000 = V_B => 5000 = ω_B. R_B=> R_{B =}5000 / 100 => R_B = 50 rpm.

EX 02. (Ufscar) - Para misturar o concreto, um motor de 3,5 hp tem solidária ao seu eixo uma engrenagem de 8 cm de diâmetro, que se acopla a uma grande cremalheira em forma de anel, com 120 cm de diâmetro, fixa ao redor do tambor misturador. Quando o motor é ligado, seu eixo gira com frequência de 3 Hz. Nestas condições, o casco do misturador dá um giro completo em:

a) 3 s.

b) 5 s.

c) 6 s.

d) 8 s.

e) 9 s.

EX 03. (Ufscar) - Para possibilitar o translado da fábrica até a construção, o concreto precisa ser mantido em constante agitação. É por esse motivo que as betoneiras, quando carregadas, mantêm seu tambor misturador sob rotação constante de 4 r.p.m. Esse movimento só é possível devido ao engate por correntes de duas engrenagens, uma grande, presa ao tambor e de diâmetro 1,2 m, e outra pequena, de diâmetro 0,4 m, conectada solidariamente a um motor.

Na obra, para que a betoneira descarregue seu conteúdo, o tambor é posto em rotação inversa, com velocidade angular 5 vezes maior que a aplicada durante o transporte. Nesse momento, a frequência de rotação do eixo da engrenagem menor, em r.p.m., é:

a) 40.

b) 45.

c) 50.

d) 55.

e) 60.

quinta-feira, 15 de janeiro de 2026

Física Aplicada - Aula 12.6 - Lançamento Oblíquo

O lançamento oblíquo ou de projétil é um movimento realizado por um objeto que é lançado na diagonal.

Esse tipo de movimento realiza uma trajetória parabólica, unindo movimentos na vertical (sobe e desce) e na horizontal. Assim, o objeto arremessado forma um ângulo (θ) entre 0° e 90° em relação a horizontal.

Na direção vertical ele realiza um Movimento Uniformemente Variado (MUV). Já na posição horizontal, o Movimento Retilíneo Uniforme (MRU).

Nesse caso, o objeto é lançado com uma velocidade inicial (v0) e está sob a ação da força da gravidade (g).

Geralmente, a velocidade vertical é indicado por V com y subscrito, enquanto a horizontal é V com x subscrito. Isso porque quando ilustramos o lançamento oblíquo, utilizamos dois eixos (x e y) para indicar os dois movimentos realizados.

A posição inicial (s0) indica o local onde tem início o lançamento. Já a posição final indica o local onde o objeto cessa o movimento parabólico.

Além disso, é importante notar que após lançado ele segue na direção vertical até atingir uma altura máxima e daí, tende a descer, também na vertical.

Cálculo: Considere um móvel P lançado obliquamente com velocidade v₀ nas proximidades da superfície terrestre. Seja θ o ângulo que v₀ forma com a horizontal, denominado ângulo de tiro. Vamos desprezar a resistência do ar. O movimento de P pode ser considerado como a composição de dois movimentos, um horizontal P_x e outro vertical P_y.

Componentes horizontal e vertical da velocidade inicial:

Horizontal: v_x = v₀.cos θ

Vertical: v_0y = v₀.sen θ

Movimento vertical: Lançamento vertical para cima (MUV) com velocidade: v_0y = v₀.sen θ

Posição vertical: y = v_0y.t + (α/2).t²

Velocidade vertical: v_y = v_0y + α.t

Equação de Torricelli : (v_y)² = (v_0y)²+ 2.α.y

Aceleração vertical: α = -g (eixo orientado para cima).

Movimento horizontal: Uniforme com velocidade: v_x = v₀.cos θ

Posição horizontal: x = v_x.t

Cálculo do tempo de subida ts: t = t_s quando v_y = 0 => v_y = v_0y - g.t => 0 = v_0y - g.t => t_s = v_0y/g

Cálculo do alcance A: Alcance: x = A quando t = 2t_s => A = v_x.2t_s

O tempo total do movimento é igual a 2t_s pois os tempos de subida e de descida t_s e t_d são iguais.

Altura máxima H: Altura: y = H quando v_y = 0 => (v_y)² = (v_0y)² - 2.g.y => 0 = (v_0y)² - 2.g.H =>

H = (v_0y)²/2g

A velocidade resultante do móvel em cada instante é: v = v_x + v_y(Em negrito: notação vetorial).

terça-feira, 13 de janeiro de 2026

Física Aplicada - Aula 12.5 - Lançamento Horizontal

O lançamento horizontal é um movimento realizado por um objeto arremessado na direção horizontal a partir de uma certa altura.

O ângulo de lançamento é nulo, ou seja, paralelo ao solo. A velocidade inicial (v0) é constante na direção horizontal, porém, acelera na direção vertical.

Ainda que receba esse nome, o lançamento horizontal une dois tipos de movimento: de queda livre na vertical e do movimento uniforme na horizontal.

O movimento de queda livre é um movimento que possui ação da gravidade e aceleração constante. Ele é chamado de movimento uniformemente variado (MUV).

Por sua, vez, o movimento horizontal realizado pelo objeto é chamado de movimento uniforme (MU) e não possui aceleração.

Fórmulas de lançamento horizontal

Para calcular o movimento na direção horizontal em função do tempo, utiliza-se a fórmula:

X(t) = X₀ + V₀ₓ . t ; Onde: x(t) é a posição do objeto lançado no instante t; x0 é a posição inicial; V é a velocidade horizontal inicial e t é o tempo.

Considerando a posição inicial como zero e, a velocidade horizontal constante, a fórmula se reduz à: X(t) = Vh .t . Sendo Vh a velocidade na direção horizontal, que permanecerá a mesma até o fim do movimento.

Por sua vez, se necessitamos calcular esse movimento em relação à queda livre, ou, na direção vertical e utilizamos a fórmula: y(t) = (g . t²) / 2 . Onde: y (t) é a posição vertical do objeto lançado no instante t; g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²) e t é o tempo.

Considere um móvel P lançado horizontalmente nas proximidades da superfície terrestre. Vamos desprezar a resistência do ar. O movimento de P pode ser considerado como a composição de dois movimentos, um horizontal (P_x) e outro vertical (P_y).
Movimento vertical: Queda livre
Posição: y = g.t²/2, em metros (m).

Velocidade: v_y = g.t, em metros por segundo (m/s).²
Movimento horizontal: Uniforme com velocidade v₀, constante em metros por segundo (m/s).

Posição: x = v₀.t, em metros (m)^2,

Cálculo do tempo de queda tq:
t²= t_q quando y = h => h = g.(t_q)²/2 => t_q = √(2.h/g), em segundos (s)
Cálculo do alcance D:
X = D quando t²= t_q => D = v₀.t_q, em metros (m).

Observação: No lançamento horizontal trabalhamos com dois eixos, onde o x é o movimento realizado na direção horizontal e y o movimento na direção vertical. No eixo x o movimento é horizontal e a velocidade é constante. Já no eixo y, o movimento é vertical e uniformemente variado com velocidade inicial igual a zero (v=0). Vale lembrar que na queda livre, o corpo está sujeito apenas à aceleração da gravidade.

Exercício 1: Uma bolinha é lançada horizontalmente com velocidade v0 = 8 m/s, de um local situado a uma altura h = 20 m do solo. Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m/s2. Determine:

a) o intervalo de tempo decorrido desde o lançamento até a bolinha atingir o solo (tempo de queda); Resolução a: h = g.(t_q)²/2 => t_q = √(2.h/g) =>t_q = √(2.20/10) => t_q = 2 s .

b) a distância D entre o ponto em que a bolinha atinge o solo e a vertical de lançamento (alcance); Resolução b: D = v₀.t_q => D = 8.2 => D = 16 m .

c) As componentes vx e vy da velocidade da bolinha no instante em que atinge o solo e o módulo v da velocidade resultante.

Resolução c: v_x = v₀ = 8 m/s;

Resolução c: v_y = g.t_q => v_y = 10.2 => v_y = 20 m/s.

Resolução c: v² = (v_x)² + (v_y)² => v² = (8)² + (20)² => v ≅ 21,5 m/s .

Exercício 2: De uma janela situada a uma altura h = 7,2 m do solo, Pedrinho lança horizontalmente uma bolinha de tênis com velocidade v0 = 5 m/s. A bolinha atinge uma parede situada em frente à janela e a uma distância D = 5 m. Determine a altura H do ponto onde a bolinha colide com a parede. Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m/s2.

Resolução: D = v₀.t => 5 = 5.t => t = 1 s.

y = g.t²/2 => y = 10.(1)²/2 => y = 5 m.

H = h - y => H = 7,2 - 5 => H = 2,2 m.

Exercício 3: (Famema/2017) Um helicóptero sobrevoa horizontalmente o solo com velocidade constante e, no ponto A, abandona um objeto de dimensões desprezíveis que, a partir desse instante, cai sob ação exclusiva da força peso e toca o solo plano e horizontal no ponto B. Na figura, o helicóptero e o objeto são representados em quatro instantes diferentes. Considerando as informações fornecidas, é correto afirmar que a altura h de sobrevoo desse helicóptero é igual a ?

A) 200 m.

B) 220 m.

C) 240 m.

D) 160 m.

E) 180 m.

Resolução: Os intervalos de tempo entre A e C, entre C e D e entre D e B, são iguais, pois a velocidade é constante e a distância é a mesma (d). Daí, tem-se que, considerando o intervalo AC:

y = g.t²/2 => 20 = 10.(t)²/2 => 20 . 2 = 10.(t)² => 40 / 10 = (t)² => t²= 4 => T = 2s. Tempo necessário para percorrer a distância (d).

Agora, percebe-se que para o objeto tocar o solo percorrer a será de 3 d. Logo o tempo será 3x maior.

T = 3 . 2s => T = 6s.

Calculando o valor de h: h = g.t²/2 => h = 10.(6)²/2 => h = 10.(36)/2 => h = 10. 18 => h = 180 m.

Física Aplicada - Aula 12.4 - Lançamento Vertical

O lançamento vertical é um tipo de movimento onde um objeto é lançado para cima ou para baixo, sob a influência da gravidade. A trajetória é uma linha reta e a aceleração da gravidade atua constantemente no sentido descendente.

Este tipo de movimento é conhecido como "movimento uniformemente variado". A velocidade do objeto muda em quantidades iguais em intervalos de tempo iguais. Isto acontece pela ação da aceleração da gravidade, que é constante.

Note que a trajetória retilínea realizada pelo objeto pode ser orientada para cima ou para baixo. No lançamento vertical:

A aceleração gravitacional (g) é constante e tem valor médio de 9,81m/s² na superfície da Terra;
O movimento pode ser dividido em dois: subida (movimento retardado) e descida (movimento acelerado).
No ponto mais alto, a velocidade do objeto é zero (v = 0).

Ação da gravidade no lançamento vertical

No lançamento vertical para baixo, a aceleração é positiva (g > 0). Já no lançamento vertical para cima a aceleração é negativa (g < 0).

A gravidade é responsável por alterar a velocidade do objeto na subida e na descida.

Durante a subida, a velocidade diminui devido à gravidade (a = −g). O movimento é desacelerado e a velocidade inicial (v0), diminui até zero no ponto mais alto.

Durante a descida, a velocidade aumenta, pois a gravidade acelera o objeto (a = g). O movimento é acelerado e a velocidade aumenta a partir de zero (caso o objeto seja abandonado do repouso).

Equações do Lançamento Vertical

O movimento produzido por um lançamento vertical pode ser estudado segundo algumas equações. Elas nos permitem determinar a posição e velocidade em função do tempo.

Nas equações ao lado, vy é a altura final atingida pelo projétil para um dado instante de tempo t. A velocidade inicial v0y é a velocidade com que o projétil é lançado, podendo ser positiva, caso o lançamento seja para cima, ou negativa, caso o lançamento seja para baixo, ou seja, a favor da gravidade.

As alturas final e inicial do lançamento são chamadas, respectivamente, de y e y0. Por fim, g é a aceleração da gravidade no local do lançamento.

Equação da velocidade em função do tempo: Vy, também chamada de função horária da velocidade, nos permite determinar qual será a velocidade do móvel em certo instante, conhecendo a velocidade inicial (V0).

Exercício 1: Uma bolinha de tênis é abandonada de uma altura de 5 m, em relação ao solo. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s2. Determine:

a) O tempo que a bolinha demora para atingir o solo (tempo de queda).

b) A velocidade com que a bolinha atinge o solo.

Resolução: Orientando-se a trajetória para baixo, adotando-se t=0 no instante que a bolinha é abandonada e considerando a origem dos espaços no ponto de partida, temos t= 1s e v= 10 m/s.

Exercício 2 - Uma bola de futebol é lançada com velocidade v0 = 10 m/s. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s2. Determine:

a) A altura máxima atingida pela bola.

b) O tempo que a bola demora para atingir a altura máxima (tempo de subida).

Resolução: Orientando-se a trajetória para cima, adotando-se t = 0 no instante que a bola é lançada e considerando a origem dos espaços no ponto de partida, temos: H = 5m e T = 1s.

segunda-feira, 12 de janeiro de 2026

Física Aplicada - Aula 12.3 - Movimento uniformemente variado

Fig. 1 Plano inclinado.

A pequena esfera é abandonada da origem dos espaços. Sua queda ao logo do plano inclinado é um MUV. Observe que as distâncias percorridas, em intervalos de tempo iguais e sucessivos, estão em progressão aritmética. Na foto: 1, 3, 5, 7, 9...

Figura 01: Nicolau Ferraro, Museo di Storia della Scienza, Florença, Itália.

O Movimento Uniformemente Variado (MUV) é um tipo de movimento em que a velocidade muda de forma constante ao longo do tempo, o que significa que ele possui uma aceleração constante e não nula, diferente do Movimento Uniforme (MU) onde a velocidade é constante. Essa aceleração constante faz com que o objeto fique mais rápido (movimento acelerado) ou mais lento (movimento retardado), alterando sua velocidade na mesma quantidade em intervalos de tempo iguais.

Movimentos com velocidade escalar variável no decurso do tempo são comuns e neles existe aceleração escalar, podendo a velocidade aumentar em módulo (movimento acelerado) ou diminuir em módulo (movimento retardado).
Quando a aceleração escalar α é constante e não nula o movimento é chamado de uniformemente variado (MUV): α = αm = Δv/Δt ≠ 0.

Função horária da velocidade escalar: da expressão α = Δv/Δt, obtemos: α = (v-v0)/(t-0) => v = v0 + α.t . Onde: v0 = velocidade inicial, velocidade do móvel no início da contagem dos tempos. (t = 0)
Função horária dos espaços: A posição do corpo durante a trajetória pode ser calculada através da seguinte equação: s = s0 + v0.t + (α.t2)/2. Onde: S = posição final, em metros (m), S0 = posição inicial, em metros (m), v0 = velocidade inicial, em metros por segundo (m/s), α = aceleração, em metros por segundo ao quadrado (m/s²) e t = tempo, em segundos (s).

A equação de Torricelli é utilizada para relacionar a velocidade e o espaço percorrido no movimento uniformemente variado: v2 = (v0)2 + 2.α.Δs. Onde: V = velocidade final, em metros por segundo (m/s), V0 = velocidade inicial, em metros por segundo (m/s), a = aceleração, em metros por segundo ao quadrado (m/s²) e ΔS = espaço percorrido, em metros (m).

Também podemos calcular a velocidade média entre dois pontos do MUV: vm = Δs/Δt = (v1+v2)/2.

Exercício 1: Uma moto parte do repouso de um ponto A cujo espaço é igual 10 m e descreve uma trajetória retilínea em movimento uniformemente variado. Após 10 s atinge o ponto B da trajetória com velocidade escalar 8 m/s.

Determine: a) a aceleração escalar do movimento;

Resolução: v = v0 + α.t => 8 = 0 + α.10 => α = 0,8 m/s2 .

Determine: b) o espaço do motociclista ao passar pelo ponto B.

Resolução: s = s0 + v0.t + (α.t2)/2 => s = 10 + 0 + 0,8.(10)2/2 => s = 50 m.

Exercício 2: Um ciclista em movimento retilíneo e uniformemente variado passa pela origem O de sua trajetória com velocidade escalar +10 m/s e aceleração escalar -0,2 m/s2. Qual é a máxima distância do ciclista à origem O?

Resolução: A máxima distância do ciclista à origem O ocorre no instante em que a velocidade do ciclista se anula. A partir deste instante inverte-se o sentido do movimento.

v = v0 + α.t => 0 = +10+(-0,2).t => t = 50 s.

s = s0 + v0.t + (α.t2)/2 => s = 0+10.50+(-0,2).(50)2/2 => S = 250 m.

Exercício 3: Um trem de 200 m de comprimento inicia a travessia de uma ponte de 100 m com velocidade escalar de 10 m/s e completa a travessia com velocidade escalar de

5 m/s. Considerando o movimento do trem uniformemente variado, determine o intervalo de tempo que dura a travessia.

Resolução: vm = Δs/Δt = (v1+v2)/2 => (Ltrem+Lponte)/Δt = (v1+v2)/2 => (200+100)/Δt = (10+5)/2 => Δt = 40 s.

Exercício 4: Dois carros, A e B, passam pelo marco zero de uma estrada retilínea, no mesmo instante e no mesmo sentido, com velocidades escalares iguais a 10 m/s e 30 m/s e acelerações escalares constantes e iguais a 0,2 m/s2 e 0,1 m/s2, respectivamente.

Quanto tempo após a passagem pelo marco zero o carro B estará na frente do carro A?

a) 100 s b) 200 s c) 300 s d) 400 s e) 500 s

Resolução:

De s = s0 + v0.t + (α.t2)/2, temos:

Carro A: sA = 0 + 10.t + (0,2.t2)/2 => sA = 10.t + 0,1.t2

Carro B: sB = 0 + 30.t + (0,1.t2)/2 => sB = 30.t + 0,05.t2

O carro B estará na frente do carro A até o instante em que sA = sB:

10.t + 0,1.t2 = 30.t + 0,05.t2 => 0,05.t2 - 20.t = 0 => 0,05.t2 = 20.t => 0,05.t = 20 => t = 20/0,05 = t = 400 s.

Durante certo intervalo de tempo o carro B estará na frente de A. Qual é a máxima distância de B até A?

a) 1000 m b) 2000 m c) 3000 m d) 4000 m e) 5000 m

Resolução: A máxima distância entre B e A ocorre no instante em que as velocidades se tornam iguais. A partir daí a distância do carro A ao carro B vai diminuindo até ocorrer a ultrapassagem:

De v = v0 + α.t, temos:

Carro A: vA = 10 + 0,2.t (SI)

Carro B: vB = 30 + 0,1.t (SI)

fazendo vA = vB, vem: 10 + 0,2.t = 30 + 0,1.t => t = 200 s

Carro A: sA = 10.t + 0,1.t2 => sA = 10.200 + 0,1.(200)2 => sA = 6000 m

Carro B: sB = 30.t + 0,05.t2 => sB = 30.200 + 0,05.(200)2 => sB = 8000 m

Distância máxima entre B e A: 8000 m – 6000 m = 2000 m

Outra maneira de resolver exercício é construir o gráfico v x t para os carros A e B. A área do triângulo indicado é numericamente igual à máxima distância entre B e A.

D = Área (numericamente) = base x altura/2 = (30-10) x 200/2 => D = 2000 m

Física Aplicada - Aula 12.2 - Movimento circular uniforme

O movimento circular uniforme (MCU) ocorre quando um corpo descreve uma trajetória curvilínea com velocidade constante. Por exemplo, as pás do ventilador, as lâminas do liquidificador ou a roda gigante no parque de diversões após estarem em regime estacionário.

Velocidade angular

A velocidade angular média, representada pela letra grega ômega (ω), indica o deslocamento angular pelo intervalo de tempo do movimento na trajetória.

Como a velocidade é constante, implica que no MCU não há aceleração angular e tangencial, visto que a aceleração é a variação da velocidade. A única aceleração no MCU é a centrípeta ( a_CP).

Aceleração centrípeta é a aceleração responsável por alterar a direção da velocidade tangencial, à qual é perpendicular.

MCU é um movimento que se realiza com velocidade escalar v constante e cuja trajetória é uma circunferência ou um arco de circunferência.

No MCU a velocidade vetorial tem módulo constante, mas varia em direção e sentido.

A aceleração do movimento é centrípeta, sendo seu módulo: a_CP= v²/R, onde: R é o raio da circunferência. A direção de a_CPé em cada ponto perpendicular à velocidade vetorial v e aponta para o centro C da circunferência.

Período e Frequência

O MCU é um movimento periódico. O intervalo de tempo decorrido em cada volta completa, de um móvel que realiza MCU, chama-se período e é indicado por T. Unidades: segundo (s), minuto (min), hora (h), etc.

Exemplo: Um móvel em MCU possui período T = 0,2 s, significa que a cada 0,2 s o móvel completa uma volta. O número de voltas na unidade de tempo, recebe o nome de frequência que é indicada por f.

No exemplo dado, se o móvel completa uma volta em 0,2 s, significa que em 1 s (uma unidade de tempo) ele completará 5 voltas. Portanto, sua frequência é f = 5 voltas por segundo ou 5 hertz (Hz).

Em 1 minuto o móvel completará f = 5 x 60 rotações por minuto, isto é sua frequência é f = 300 rotações por minuto (rpm). Unidades: hertz (Hz) (ciclos/segundo), rpm (rotações/minuto), etc.

Relações: Equações do MCU: f = 1/T (Hz).

Sejam:

s = espaço linear;
s0 = espaço linear inicial;
φ = espaço angular (posição);
φ0 = espaço angular inicial;
Δs = variação do espaço linear no intervalo de tempo Δt;
Δφ = variação do espaço angular no intervalo de tempo Δt.

Posição angular: Representada pela letra grega phi (φ), a posição angular descreve o arco de um trecho da trajetória indicada por determinado ângulo.

Deslocamento angular: Representado por Δφ (delta phi), o deslocamento angular define a posição angular final e inicial da trajetória.

Velocidade angular: ω = Δφ/Δt => Velocidade angular média, representada pela letra grega ômega (ω), indica o deslocamento angular pelo intervalo de tempo do movimento na trajetória.

Velocidade linear: v = Δs/Δt => A velocidade linear , representada pela letra (v), relaciona a velocidade com o raio da trajetória e a velocidade angular.

Relações:

Δs = Δφ.R => Deslocamento em metros.
v = ω.R => Velocidade linear em metros por segundo;
ω = 2π/T (Δφ = 2π rad e Δt = T) => Velocidade angular;
ω = 2π.f => Velocidade angular;
CP = v²/R = ω².R => Aceleração centrípeda:

Funções horárias:

Linear: s = s0 + v.t
Angular: φ = φ0 + ω.t

Exercícios básicos

Exercício 1: A cadeira de uma roda gigante que realiza um MCU, completa um terço de volta em 20 s. Considere π = 3. Determine:

a) o período de rotação da cadeira;

b) a frequência em Hz e em rpm;

c) a velocidade angular da cadeira.

Exercício 2: Uma partícula descreve um MCU de raio 2 m e com frequência 2 Hz. Adote π = 3,14. Determine:

a) o período do movimento;

b) a velocidade angular;

c) a velocidade linear;

d) a aceleração escalar

e) o módulo da aceleração centrípeta.

Exercício 3: Duas partículas, A e B, realizam MCU de mesmo raio e com períodos TA = 1 s e TB = 3 s, respectivamente. As partículas partem de um mesmo ponto C da trajetória circular e no mesmo sentido.

a) Qual o intervalo de tempo decorrido desde a partida até se encontrarem pela primeira vez no ponto C?

b) Qual o intervalo de tempo decorrido desde a partida até o instante em que uma partícula se encontra uma volta na frente da outra?

c) Refaça o item b) e considere que as partículas partiram do ponto C em sentidos opostos.

Exercício 4: O eixo de um motor gira com frequência de 20 Hz. Qual é a frequência de rotação do eixo do motor em rpm (rotações por minuto)?

Exercício 5: Uma pessoa, na cidade de Macapá (Amapá), está em repouso sobre a linha do equador. Qual é a velocidade linear desta pessoa devido ao movimento de rotação da Terra? Considere o raio da Terra igual a 6,4.10³ km e π = 3,14.

Exercício 6: Um ciclista descreve um movimento circular uniforme de raio R = 100 m, com velocidade linear igual a 36 km/h. Determine, para o intervalo de tempo igual a 10 s, o ângulo e o arco descritos pelo ciclista.