Física Aplicada - Aula 13 - Transmissão de movimento com engrenagens e polias

Registros históricos - Engrenagens

Não há um único inventor conhecido da roda dentada, pois ela evoluiu a partir de mecanismos rudimentares de engrenagem que surgiram em diferentes civilizações antigas. Registros históricos indicam o uso de engrenagens primitivas, provavelmente feitas de madeira, em mecanismos simples por volta de 1000 a.C.

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  Fig. 1 - Desenhos de Leonardo da Vinci
  sobre invenções de Arquimedes

  Os mecânicos gregos de Alexandria foram pioneiros no desenvolvimento de engrenagens mais sofisticadas, que foram aprimoradas por figuras como Arquimedes.
• O inventor alexandrino Héron usou engrenagens em um hodômetro (medidor de distância) por volta de 100 a.C.
• As primeiras descrições escritas sobre engrenagens foram feitas por Aristóteles, no século 4 a.c. Ele mencionou elementos como parafuso sem-fim e coroa em seus escritos.

Inventor, Leonardo Da Vinci esboçou e projetou diversas ferramentas e máquinas. Imagine dentro de um relógio mecânico, por exemplo, onde uma engrenagem movimenta a outra, uma engrenagem pequena movimenta uma maior. Se tiver um pequeno erro na primeira volta da primeira engrenagem, o erro será grande na engrenagem grande. Isso não pode acontecer, por isso a necessidade da precisão.

Transmissão de movimento

A transmissão do movimento circular de uma polia para outra, pode ser feita de dois modos:

1. Utilizando-se uma correia ou uma corrente;
2. Estabelecendo-se um contato direto entre as polias.

Fig. 2 - Transmissão de movimento
por correia dentada. 

Para não haver deslizamento ou escorregamento são usadas engrenagens cujos dentes se encaixam nos elos da corrente ou, no caso do contato, há uma adaptação dos dentes das engrenagens.

Após o “contato” e estabelecido o movimento circular iremos fazer algumas análises.

Sejam duas rodas ligadas através de uma correia e o raio (r1 é maior que o r2) no qual a transmissão ocorre da roda de menor raio para a de maior. 

A velocidade angular se relaciona com a frequência por: Angular: φ = ω.t.

Quanto à velocidade linear/tangencial (V = ω . R), seu valor é diretamente proporcional ao raio R da trajetória descrita; pois, geometricamente, o perímetro da circunferência desenhada no movimento equivale à distância percorrida. 

Esquematicamente, temos na primeira figura a transmissão por correia e na segunda o contato direto.

Não havendo escorregamento os pontos periféricos das polias têm a mesma velocidade linear. Assim, vem: V_A = V_B (velocidade periférica.

Sendo V = ω.R e ω = 2π.f, resulta:

ω_A.R_A = ω_B.R_B

f_A.R_A = f_B.R_B 

Relação de Transmissão

Em algumas situações é necessário transferir o movimento circular de um ponto para outro, para isso usamos o que chamamos de transmissão de movimento circular, que pode ser vários tipos. Um exemplo cotidiano de transmissão de movimento circular está nos automóveis, nesses veículos o movimento circular do motor é transferido para as rodas por meio do que chamamos de “transmissão” ou “câmbio”.

A relação de transmissão de movimento circular é um valor numérico, geralmente expressado em forma de fração que nos permite encontrar a diferença de velocidade angular e consequente redução ou ampliação do torque entre dois eixos que são unidos por uma transmissão de movimento circular.

A diferença de velocidade entre os eixos ocorre devido a diferença dos raios das polias ou rodas de fricção, bem como a diferença entre o número de dentes das engrenagens nos casos em que essas são usadas.

Fig. 4 - Polias (a) e Engrenagens (b).

Considerando no esquema abaixo ( figura 8 ) Ra e n1 como raio da polia motora e número de dentes da engrenagem motora respectivamente, podemos dizer que: Para os itens a seguir, considere a polia a e engrenagem 1, como polia e engrenagem motora.

Figura 8: Diagrama esquemático de (a) polias acopladas com correia plana e (b) engrenamento.

1. Se Ra = Rb a relação de transmissão é Rb / Ra = 1 / 1 o que lemos “um para um”. Nesse caso as duas polias possuem a mesma velocidade angular. O mesmo ocorre nos casos em que n1 = n2.
2. Se Ra < Rb, por exemplo Ra = 1 e Rb = 10, a relação fica Rb / Ra = 10 / 1 e lemos “dez para um”, nesse caso dizemos que houve uma redução da velocidade angular de a para b. As reduções de velocidade angular quase sempre estão associadas à necessidade de ampliação do torque disponível no conjunto. O mesmo ocorre nos casos em que n1 < n2.
3. Se Ra > Rb, por exemplo Ra = 10 e Rb = 2, a relação fica Rb / Ra = 2 / 10 e lemos “dois para dez”, nessa situação dizemos que houve uma ampliação da velocidade angular de a para b. As ampliações de velocidade têm como consequência uma diminuição do torque. O mesmo também ocorre nos casos em que n1 > n2.

Exercícios sobre  engrenagens

Como exemplo, podemos citar duas polias ligadas por uma correia com raios de 20 cm e 50 cm cada. A polia de menor raio gira com uma frequência equivalente a 50 Hz. Com qual frequência a polia maior estará girando?

Resolução: f_A.R_A = f_B.R => 50 . 0,2 = f . 0,5 => 10 = 0,5.f => f = 10 / 0,5 => f = 20Hz.

EX 01. (Unicamp) - Considere as três engrenagens acopladas simbolizadas na figura a seguir. A engrenagem A tem 50 dentes e gira no sentido horário, indicado na figura, com velocidade angular de 100 rpm (rotação por minuto). A engrenagem B tem 100 dentes e a C tem 20 dentes.

a) Qual é o sentido de rotação da engrenagem C?

Resolução: A engrenagem C gira no sentido horário.

b) Quanto vale a velocidade tangencial da engrenagem A em dentes/min?

Resolução: V_A = ω . R=> V_A = 50 . 100 => V_A = 5000 dentes/min.

c) Qual é a velocidade angular de rotação (em rpm) da engrenagem B?

Resolução: V_A = V_B => 5000 = V_B  => 5000 = ω_B . R_B => R_{B =} 5000 / 100 => R_B = 50 rpm.

EX 02. (Ufscar) - Para misturar o concreto, um motor de 3,5 hp tem solidária ao seu eixo uma engrenagem de 8 cm de diâmetro, que se acopla a uma grande cremalheira em forma de anel, com 120 cm de diâmetro, fixa ao redor do tambor misturador. Quando o motor é ligado, seu eixo gira com frequência de 3 Hz. Nestas condições, o casco do misturador dá um giro completo em:

a) 3 s.

b) 5 s.

c) 6 s.

d) 8 s.

e) 9 s.

EX 03. (Ufscar) - Para possibilitar o translado da fábrica até a construção, o concreto precisa ser mantido em constante agitação. É por esse motivo que as betoneiras, quando carregadas, mantêm seu tambor misturador sob rotação constante de 4 r.p.m. Esse movimento só é possível devido ao engate por correntes de duas engrenagens, uma grande, presa ao tambor e de diâmetro 1,2 m, e outra pequena, de diâmetro 0,4 m, conectada solidariamente a um motor.

Na obra, para que a betoneira descarregue seu conteúdo, o tambor é posto em rotação inversa, com velocidade angular 5 vezes maior que a aplicada durante o transporte. Nesse momento, a frequência de rotação do eixo da engrenagem menor, em r.p.m., é:

a) 40.

b) 45.

c) 50.

d) 55.

e) 60.

© Direitos de autor. 2026: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 02/01/2026

Física Aplicada - Aula 12.6 - Lançamento Oblíquo

 O lançamento oblíquo ou de projétil é um movimento realizado por um objeto que é lançado na diagonal.

Esse tipo de movimento realiza uma trajetória parabólica, unindo movimentos na vertical (sobe e desce) e na horizontal. Assim, o objeto arremessado forma um ângulo (θ) entre 0° e 90° em relação a horizontal.

Na direção vertical ele realiza um Movimento Uniformemente Variado (MUV). Já na posição horizontal, o Movimento Retilíneo Uniforme (MRU).

Nesse caso, o objeto é lançado com uma velocidade inicial (v0) e está sob a ação da força da gravidade (g).

Geralmente, a velocidade vertical é indicado por V com y subscrito, enquanto a horizontal é V com x subscrito. Isso porque quando ilustramos o lançamento oblíquo, utilizamos dois eixos (x e y) para indicar os dois movimentos realizados.

A posição inicial (s0) indica o local onde tem início o lançamento. Já a posição final indica o local onde o objeto cessa o movimento parabólico.

Além disso, é importante notar que após lançado ele segue na direção vertical até atingir uma altura máxima e daí, tende a descer, também na vertical.

Cálculo: Considere um móvel P lançado obliquamente com velocidade v₀ nas proximidades da superfície terrestre. Seja θ o ângulo que v₀ forma com a horizontal, denominado ângulo de tiro. Vamos desprezar a resistência do ar. O movimento de P pode ser considerado como a composição de dois movimentos, um horizontal P_x e outro vertical P_y.

Componentes horizontal e vertical da velocidade inicial:

Horizontal: v_x = v₀.cos θ

Vertical: v_0y = v₀.sen θ

Movimento vertical: Lançamento vertical para cima (MUV) com velocidade: v_0y = v₀.sen θ

Posição vertical: y = v_0y.t + (α/2).t²

Velocidade vertical: v_y = v_0y + α.t

Equação de Torricelli : (v_y)² = (v_0y)²+ 2.α.y

Aceleração vertical: α = -g (eixo orientado para cima).

Movimento horizontal: Uniforme com velocidade: v_x = v₀.cos θ

Posição horizontal: x = v_x.t

Cálculo do tempo de subida ts: t = t_s quando v_y = 0 => v_y = v_0y - g.t => 0 = v_0y - g.t  => t_s = v_0y/g 

Cálculo do alcance A: Alcance: x = A quando t = 2t_s => A = v_x.2t_s

O tempo total do movimento é igual a 2t_s pois os tempos de subida e de descida t_s e t_d são iguais.

Altura máxima H: Altura: y = H quando v_y = 0 => (v_y)² = (v_0y)² - 2.g.y => 0 = (v_0y)² - 2.g.H  => 

H = (v_0y)²/2g

A velocidade resultante do móvel em cada instante é: v = v_x + v_y (Em negrito: notação vetorial).

© Direitos de autor. 2026: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 10/01/2026

Física Aplicada - Aula 12.5 - Lançamento Horizontal

O lançamento horizontal é um movimento realizado por um objeto arremessado na direção horizontal a partir de uma certa altura.

O ângulo de lançamento é nulo, ou seja, paralelo ao solo. A velocidade inicial (v0) é constante na direção horizontal, porém, acelera na direção vertical.

Ainda que receba esse nome, o lançamento horizontal une dois tipos de movimento: de queda livre na vertical e do movimento uniforme na horizontal.

O movimento de queda livre é um movimento que possui ação da gravidade e aceleração constante. Ele é chamado de movimento uniformemente variado (MUV).

Por sua, vez, o movimento horizontal realizado pelo objeto é chamado de movimento uniforme (MU) e não possui aceleração.

Fórmulas de lançamento horizontal

Para calcular o movimento na direção horizontal em função do tempo, utiliza-se a fórmula: 

X(t) = X₀ + V₀ₓ . t ; Onde: x(t) é a posição do objeto lançado no instante t; x0 é a posição inicial; V é a velocidade horizontal inicial e t é o tempo.

Considerando a posição inicial como zero e, a velocidade horizontal constante, a fórmula se reduz à: X(t) = Vh .t . Sendo Vh a velocidade na direção horizontal, que permanecerá a mesma até o fim do movimento.

Por sua vez, se necessitamos calcular esse movimento em relação à queda livre, ou, na direção vertical e utilizamos a fórmula: y(t) = (g . t²) / 2 . Onde: y (t) é a posição vertical do objeto lançado no instante t;  g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²) e t é o tempo.

Considere um móvel P lançado horizontalmente nas proximidades da superfície terrestre. Vamos desprezar a resistência do ar. O movimento de P pode ser considerado como a composição de dois movimentos, um horizontal (P_x) e outro vertical (P_y).
Movimento vertical: Queda livre
Posição: y = g.t²/2, em metros (m).

Velocidade: v_y = g.t, em metros por segundo (m/s).²
Movimento horizontal: Uniforme com velocidade v₀  , constante em metros por segundo (m/s).

Posição: x = v₀.t, em metros (m)^2,

Cálculo do tempo de queda tq:
t²= t_q quando y = h => h = g.(t_q)²/2 => t_q = √(2.h/g), em segundos (s)
Cálculo do alcance D:
X = D quando t²= t_q => D = v₀.t_q , em metros (m).

Observação: No lançamento horizontal trabalhamos com dois eixos, onde o x é o movimento realizado na direção horizontal e y o movimento na direção vertical. No eixo x o movimento é horizontal e a velocidade é constante. Já no eixo y, o movimento é vertical e uniformemente variado com velocidade inicial igual a zero (v=0). Vale lembrar que na queda livre, o corpo está sujeito apenas à aceleração da gravidade.

Exercício 1: Uma bolinha é lançada horizontalmente com velocidade v0 = 8 m/s, de um local situado a uma altura h = 20 m do solo. Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m/s2. Determine: 

a) o intervalo de tempo decorrido desde o lançamento até a bolinha atingir o solo (tempo de queda); Resolução a:  h = g.(t_q)²/2 => t_q = √(2.h/g) =>t_q = √(2.20/10) => t_q = 2 s .

b) a distância D entre o ponto em que a bolinha atinge o solo e a vertical de lançamento (alcance); Resolução b:  D = v₀.t_q => D = 8.2 => D = 16 m .

c) As componentes vx e vy da velocidade da bolinha no instante em que atinge o solo e o módulo v da velocidade resultante. 

Resolução c: v_x = v₀ = 8 m/s; 

Resolução c: v_y = g.t_q => v_y = 10.2 => v_y = 20 m/s.

Resolução c: v² = (v_x)² + (v_y)² => v² = (8)² + (20)² => v ≅ 21,5 m/s .

Exercício 2: De uma janela situada a uma altura h = 7,2 m do solo, Pedrinho lança horizontalmente uma bolinha de tênis com velocidade v0 = 5 m/s. A bolinha atinge uma parede situada em frente à janela e a uma distância D = 5 m. Determine a altura H do ponto onde a bolinha colide com a parede. Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m/s2.

Resolução: D = v₀.t => 5 = 5.t => t = 1 s.

y = g.t²/2 => y = 10.(1)²/2 => y = 5 m.

H = h - y => H = 7,2 - 5 => H = 2,2 m.

Exercício 3: (Famema/2017) Um helicóptero sobrevoa horizontalmente o solo com velocidade constante e, no ponto A, abandona um objeto de dimensões desprezíveis que, a partir desse instante, cai sob ação exclusiva da força peso e toca o solo plano e horizontal no ponto B. Na figura, o helicóptero e o objeto são representados em quatro instantes diferentes. Considerando as informações fornecidas, é correto afirmar que a altura h de sobrevoo desse helicóptero é igual a ?

A) 200 m.

B) 220 m.

C) 240 m.

D) 160 m.

E) 180 m.

Resolução: Os intervalos de tempo entre A e C, entre C e D e entre D e B, são iguais, pois a velocidade é constante e a distância é a mesma (d). Daí, tem-se que, considerando o intervalo AC:

y = g.t²/2 => 20 = 10.(t)²/2 =>  20 . 2 = 10.(t)² =>  40 / 10 = (t)² =>  t² = 4 => T = 2s. Tempo necessário para percorrer a distância (d).

Agora, percebe-se que para o objeto tocar o solo percorrer a será de 3 d. Logo o tempo será 3x maior. 

T = 3 . 2s => T = 6s.

Calculando o valor de h: h = g.t²/2 => h = 10.(6)²/2 => h = 10.(36)/2 => h = 10. 18 => h = 180 m.

© Direitos de autor. 2026: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 10/01/2026