Física Aplicada - Aula 12.4 - Lançamento Vertical

 O lançamento vertical é um tipo de movimento onde um objeto é lançado para cima ou para baixo, sob a influência da gravidade. A trajetória é uma linha reta e a aceleração da gravidade atua constantemente no sentido descendente.

Este tipo de movimento é conhecido como "movimento uniformemente variado". A velocidade do objeto muda em quantidades iguais em intervalos de tempo iguais. Isto acontece pela ação da aceleração da gravidade, que é constante.

Note que a trajetória retilínea realizada pelo objeto pode ser orientada para cima ou para baixo. No lançamento vertical:

• A aceleração gravitacional (g) é constante e tem valor médio de 9,81m/s² na superfície da Terra;
• O movimento pode ser dividido em dois: subida (movimento retardado) e descida (movimento acelerado).
• No ponto mais alto, a velocidade do objeto é zero (v = 0).

Ação da gravidade no lançamento vertical

No lançamento vertical para baixo, a aceleração é positiva (g > 0). Já no lançamento vertical para cima a aceleração é negativa (g < 0).

A gravidade é responsável por alterar a velocidade do objeto na subida e na descida.

Durante a subida, a velocidade diminui devido à gravidade (a = −g). O movimento é desacelerado e a velocidade inicial (v0), diminui até zero no ponto mais alto.

Durante a descida, a velocidade aumenta, pois a gravidade acelera o objeto (a = g). O movimento é acelerado e a velocidade aumenta a partir de zero (caso o objeto seja abandonado do repouso).

Equações do Lançamento Vertical

O movimento produzido por um lançamento vertical pode ser estudado segundo algumas equações. Elas nos permitem determinar a posição e velocidade em função do tempo. 

Nas equações ao lado, vy é a altura final atingida pelo projétil para um dado instante de tempo t. A velocidade inicial v0y é a velocidade com que o projétil é lançado, podendo ser positiva, caso o lançamento seja para cima, ou negativa, caso o lançamento seja para baixo, ou seja, a favor da gravidade. 

As alturas final e inicial do lançamento são chamadas, respectivamente, de y e y0. Por fim, g é a aceleração da gravidade no local do lançamento.

Equação da velocidade em função do tempo: Vy, também chamada de função horária da velocidade, nos permite determinar qual será a velocidade do móvel em certo instante, conhecendo a velocidade inicial (V0).

Exercício 1: Uma bolinha de tênis é abandonada de uma altura de 5 m, em relação ao solo. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s2. Determine:

a) O tempo que a bolinha demora para atingir o solo (tempo de queda).

b) A velocidade com que a bolinha atinge o solo.

Resolução: Orientando-se a trajetória para baixo, adotando-se t=0 no instante que a bolinha é abandonada e considerando a origem dos espaços no ponto de partida, temos t= 1s e v= 10 m/s.

Exercício 2 - Uma bola de futebol é lançada com velocidade v0 = 10 m/s. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s2. Determine:

a) A altura máxima atingida pela bola.

b) O tempo que a bola demora para atingir a altura máxima (tempo de subida).

Resolução: Orientando-se a trajetória para cima, adotando-se t = 0 no instante que a bola é  lançada e considerando  a origem dos espaços no ponto de partida, temos: H = 5m e T = 1s.

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Física Aplicada - Aula 12.3 - Movimento uniformemente variado

Fig. 1 Plano inclinado.

A pequena esfera é abandonada da origem dos espaços. Sua queda ao logo do plano inclinado é um MUV. Observe que as distâncias percorridas, em intervalos de tempo iguais e sucessivos, estão em progressão aritmética. Na foto: 1, 3, 5, 7, 9... 

Figura 01: Nicolau Ferraro, Museo di Storia della Scienza, Florença, Itália.

O Movimento Uniformemente Variado (MUV) é um tipo de movimento em que a velocidade muda de forma constante ao longo do tempo, o que significa que ele possui uma aceleração constante e não nula, diferente do Movimento Uniforme (MU) onde a velocidade é constante. Essa aceleração constante faz com que o objeto fique mais rápido (movimento acelerado) ou mais lento (movimento retardado), alterando sua velocidade na mesma quantidade em intervalos de tempo iguais. 

Movimentos com velocidade escalar variável no decurso do tempo são comuns e neles existe aceleração escalar, podendo a velocidade aumentar em módulo (movimento acelerado) ou diminuir em módulo (movimento retardado).
Quando a aceleração escalar α é constante e não nula o movimento é chamado de uniformemente variado (MUV):  α = αm = Δv/Δt ≠ 0.

Função horária da velocidade escalar: da expressão α = Δv/Δt, obtemos: α = (v-v0)/(t-0) => v = v0 + α.t . Onde: v0 = velocidade inicial, velocidade do móvel no início da contagem dos tempos. (t = 0)
Função horária dos espaços: A posição do corpo durante a trajetória pode ser calculada através da seguinte equação: s = s0 + v0.t + (α.t2)/2. Onde: S = posição final, em metros (m), S0 = posição inicial, em metros (m), v0 = velocidade inicial, em metros por segundo (m/s), α = aceleração, em metros por segundo ao quadrado (m/s²) e t = tempo, em segundos (s).

A equação de Torricelli é utilizada para relacionar a velocidade e o espaço percorrido no movimento uniformemente variado: v2 = (v0)2 + 2.α.Δs. Onde: V = velocidade final, em metros por segundo (m/s), V0 = velocidade inicial, em metros por segundo (m/s), a = aceleração, em metros por segundo ao quadrado (m/s²) e ΔS = espaço percorrido, em metros (m). 

Também podemos calcular a velocidade média entre dois pontos do MUV: vm = Δs/Δt = (v1+v2)/2.

Movimentos com velocidade escalar variável no decurso do tempo são comuns e neles existe aceleração escalar, podendo a velocidade aumentar em módulo (movimento acelerado) ou diminuir em módulo (movimento retardado).

Exercício 1: Uma moto parte do repouso de um ponto A cujo espaço é igual 10 m e descreve uma trajetória retilínea em movimento uniformemente variado. Após 10 s atinge o ponto B da trajetória com velocidade escalar 8 m/s. 

Determine: a) a aceleração escalar do movimento;

Resolução: v = v0 + α.t => 8 = 0 + α.10 => α = 0,8 m/s2  .

Determine: b) o espaço do motociclista ao passar pelo ponto B.

Resolução: s = s0 + v0.t + (α.t2)/2 => s = 10 + 0 + 0,8.(10)2/2 => s = 50 m.

Exercício 2: Um ciclista em movimento retilíneo e uniformemente variado passa pela origem O de sua trajetória com velocidade escalar +10 m/s e aceleração escalar -0,2 m/s2. Qual é a máxima distância do ciclista à origem O?

Resolução: A máxima distância do ciclista à origem O ocorre no instante em que a velocidade do ciclista se anula. A partir deste instante inverte-se o sentido do movimento. 

v = v0 + α.t => 0 = +10+(-0,2).t => t = 50 s.

s = s0 + v0.t + (α.t2)/2 => s = 0+10.50+(-0,2).(50)2/2 => S = 250 m.

Exercício 3: Um trem de 200 m de comprimento inicia a travessia de uma ponte de 100 m com velocidade escalar de 10 m/s e completa a travessia com velocidade escalar de

5 m/s. Considerando o movimento do trem uniformemente variado, determine o intervalo de tempo que dura a travessia.

Resolução: vm = Δs/Δt = (v1+v2)/2 => (Ltrem+Lponte)/Δt = (v1+v2)/2  => (200+100)/Δt = (10+5)/2 => Δt = 40 s. 

Exercício 4: Dois carros, A e B, passam pelo marco zero de uma estrada retilínea, no mesmo instante e no mesmo sentido, com velocidades escalares iguais a 10 m/s e 30 m/s e acelerações escalares constantes e iguais a 0,2 m/s2 e 0,1 m/s2, respectivamente.

Quanto tempo após a passagem pelo marco zero o carro B estará na frente do carro A?

a) 100 s b) 200 s c) 300 s d) 400 s e) 500 s

Resolução:

De  s = s0 + v0.t + (α.t2)/2, temos:

Carro A: sA = 0 + 10.t + (0,2.t2)/2 => sA = 10.t + 0,1.t2

Carro B: sB = 0 + 30.t + (0,1.t2)/2 => sB = 30.t + 0,05.t2

O carro B estará na frente do carro A até o instante em que sA = sB:

10.t + 0,1.t2 = 30.t + 0,05.t2 => 0,05.t2 - 20.t = 0 => 0,05.t2 = 20.t  =>  0,05.t = 20  =>  t = 20/0,05  = t = 400 s. 

Durante certo intervalo de tempo o carro B estará na frente de A. Qual é a máxima distância de B até A?

a) 1000 m b) 2000 m c) 3000 m d) 4000 m e) 5000 m

Resolução: A máxima distância entre B e A ocorre no instante em que as velocidades se tornam iguais. A partir daí a distância do carro A ao carro B vai diminuindo até ocorrer a ultrapassagem:

De v = v0 + α.t, temos:

Carro A: vA = 10 + 0,2.t (SI)

Carro B: vB = 30 + 0,1.t (SI)

fazendo vA = vB, vem: 10 + 0,2.t = 30 + 0,1.t => t = 200 s

Carro A: sA = 10.t + 0,1.t2 => sA = 10.200 + 0,1.(200)2 => sA = 6000 m

Carro B: sB = 30.t + 0,05.t2 => sB = 30.200 + 0,05.(200)2 => sB = 8000 m 

Distância máxima entre B e A: 8000 m – 6000 m = 2000 m

Outra maneira de resolver exercício é construir o gráfico v x t para os carros A e B. A área do triângulo indicado é numericamente igual à máxima distância entre B e A.

D = Área (numericamente) = base x altura/2 = (30-10) x 200/2 => D = 2000 m

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Física Aplicada - Aula 12.2 - Movimento circular uniforme

O movimento circular uniforme (MCU) ocorre quando um corpo descreve uma trajetória curvilínea com velocidade constante. Por exemplo, as pás do ventilador, as lâminas do liquidificador ou a roda gigante no parque de diversões após estarem em regime estacionário. 

Velocidade angular

A velocidade angular média, representada pela letra grega ômega (ω), indica o deslocamento angular pelo intervalo de tempo do movimento na trajetória.

Como a velocidade é constante, implica que no MCU não há aceleração angular e tangencial, visto que a aceleração é a variação da velocidade. A única aceleração no MCU é a centrípeta ( a_CP ).

Aceleração centrípeta é a aceleração responsável por alterar a direção da velocidade tangencial, à qual é perpendicular.

MCU é um movimento que se realiza com velocidade escalar v constante e cuja trajetória é uma circunferência ou um arco de circunferência.

No MCU a velocidade vetorial tem módulo constante, mas varia em direção e sentido. 

A aceleração do movimento é centrípeta, sendo seu módulo: a_CP = v²/R, onde:  R é o raio da circunferência. A direção de a_CP é em cada ponto perpendicular à velocidade vetorial v e aponta para o centro C da circunferência.

Período e Frequência

O MCU é um movimento periódico. O intervalo de tempo decorrido em cada volta completa, de um móvel que realiza MCU, chama-se período e é indicado por T. Unidades: segundo (s), minuto (min), hora (h), etc.

Exemplo: Um móvel em MCU possui período T = 0,2 s, significa que a cada 0,2 s o móvel completa uma volta. O número de voltas na unidade de tempo, recebe o nome de frequência que é indicada por f. 

No exemplo dado, se o móvel completa uma volta em 0,2 s, significa que em 1 s (uma unidade de tempo) ele completará 5 voltas. Portanto, sua frequência é f = 5 voltas por segundo ou 5 hertz (Hz). 

Em 1 minuto o móvel completará f = 5 x 60 rotações por minuto, isto é sua frequência é f = 300 rotações por minuto (rpm). Unidades: hertz (Hz) (ciclos/segundo), rpm (rotações/minuto), etc. 

Relações: Equações do MCU: f = 1/T (Hz). 

Sejam:

s = espaço linear;
s0 = espaço linear inicial;
φ = espaço angular (posição);
φ0 = espaço angular inicial;
Δs = variação do espaço linear no intervalo de tempo Δt;
Δφ = variação do espaço angular no intervalo de tempo Δt.

Posição angular: Representada pela letra grega phi (φ), a posição angular descreve o arco de um trecho da trajetória indicada por determinado ângulo. 

Deslocamento angular: Representado por Δφ (delta phi), o deslocamento angular define a posição angular final e inicial da trajetória.

Velocidade angular: ω = Δφ/Δt => Velocidade angular média, representada pela letra grega ômega (ω), indica o deslocamento angular pelo intervalo de tempo do movimento na trajetória. 

Velocidade linear: v = Δs/Δt => A velocidade linear , representada pela letra (v), relaciona a velocidade com o raio da trajetória e a velocidade angular.

Relações:

Δs = Δφ.R => Deslocamento em metros.

v = ω.R => Velocidade linear em metros por segundo;

ω = 2π/T (Δφ = 2π rad e Δt = T) => Velocidade angular;

ω = 2π.f => Velocidade angular;

CP = v²/R = ω².R => Aceleração centrípeda:

Funções horárias:

Linear: s = s0 + v.t

Angular: φ = φ0 + ω.t

Exercícios básicos

Exercício 1: A cadeira de uma roda gigante que realiza um MCU, completa um terço de volta em 20 s. Considere π = 3. Determine:

a) o período de rotação da cadeira;

b) a frequência em Hz e em rpm;

c) a velocidade angular da cadeira.

Exercício 2: Uma partícula descreve um MCU de raio 2 m e com frequência 2 Hz. Adote π = 3,14. Determine:

a) o período do movimento;

b) a velocidade angular;

c) a velocidade linear;

d) a aceleração escalar

e) o módulo da aceleração centrípeta.

Exercício 3: Duas partículas, A e B, realizam MCU de mesmo raio e com períodos TA = 1 s e TB = 3 s, respectivamente. As partículas partem de um mesmo ponto C da trajetória circular e no mesmo sentido.

a) Qual o intervalo de tempo decorrido desde a partida até se encontrarem pela primeira vez no ponto C?

b) Qual o intervalo de tempo decorrido desde a partida até o instante em que uma partícula se encontra uma volta na frente da outra?

c) Refaça o item b) e considere que as partículas partiram do ponto C em sentidos opostos.

Exercício 4: O eixo de um motor gira com frequência de 20 Hz. Qual é a frequência de rotação do eixo do motor em rpm (rotações por minuto)?

Exercício 5: Uma pessoa, na cidade de Macapá (Amapá), está em repouso sobre a linha do equador. Qual é a velocidade linear desta pessoa devido ao movimento de rotação da Terra? Considere o raio da Terra igual a 6,4.10³  km e π = 3,14.

Exercício 6: Um ciclista descreve um movimento circular uniforme de raio R = 100 m, com velocidade linear igual a 36 km/h. Determine, para o intervalo de tempo igual a 10 s, o ângulo e o arco descritos pelo ciclista.

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Física Aplicada - Aula 12.1 - Movimento Retilíneo Uniforme

Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) é o movimento que ocorre com velocidade constante em uma trajetória reta. Desta forma, em intervalos de tempos iguais o móvel percorre a mesma distância.

Um exemplo de MRU é quando estamos viajando em uma estrada plana e reta e o velocímetro indica sempre a mesma velocidade.

Velocidade média: O valor da velocidade média é encontrado dividindo-se a variação do espaço pelo intervalo de tempo. Assim, temos: Vm = Δs/Δt. Onde: vm: velocidade média, Δs: variação do espaço e t: intervalo de tempo.

Função horária da posição: A função horária da posição é encontrada substituindo Δs por s - s0 na equação da velocidade. Assim, temos: S = S₀ + V ⋅ t . Onde: s: posição, S₀: posição inicial, v: velocidade e t: tempo.

O Movimento Uniforme pode ser progressivo ou retrógrado.

Movimento Progressivo: É o movimento em que o móvel caminha a favor da orientação positiva da trajetória. No movimento progressivo os espaços crescem com o decorrer do tempo e a velocidade escalar é positiva.

Movimento Retrógrado: É o movimento em que o móvel caminha contra a orientação positiva da trajetória. No movimento retrógrado os espaços decrescem com o decorrer do tempo e a velocidade escalar é negativa.

Exercício 1: Dê exemplos de movimentos uniformes que ocorrem no dia a dia.

Resolução: Movimento da extremidade do ponteiro de um relógio; movimento de um ponto do equador devido a rotação da Terra; movimento final de queda de um paraquedas; movimento final de queda de uma gotícula de chuva; movimento de propagação do som e da luz.

Exercício 2: Um móvel realiza um movimento uniforme e seu espaço varia com o tempo segundo a tabela:

a) Classifique o movimento dizendo se é progressivo ou retrógrado. Resolução: O movimento é retrógrado pois os espaços s decrescem com o decorrer do tempo.

b) Calcule e velocidade escalar do móvel. Resolução: v = Δs/Δt0=> v = (17-20)/(1-0) => v = -3 m/s.

c) Qual é o espaço inicial do móvel. Resolução: Para t = 0, temos s0 = 20 m

d) Escreva a função horária dos espaços. Resolução:  s = s0 + vt => s = 20 - 3t 

e) Construa o gráfico s x t. Resolução: Gráfico s x t ao lado.

Exercício 3: Dois móveis, A e B, realizam movimentos uniformes em uma trajetória retilínea e suas funções horárias são A: s = 15 + 10t (SI) e B; s = 35 + 5t (SI). Determine:

a) A distância entre os móveis no instante t = 0. Resolução: No instante t = 0, temos: A: s0 = 15 m e B: s0 = 35 m. Logo a distância entre A e B, no instante t = 0, é de 20 m.

b) O instante em que os móveis se encontram. Resolução:  No instante do encontro os espaços de A e B são iguais. Portanto: sA = sB => 15 + 10t = 35 + 5t => t = 4 s

c) Os espaços dos móveis no instante do encontro. Resolução:  Para t = 4s, temos: sA = 15 + 10.4 => sA = 55 m. Confirmando: sB = 35 + 5.4 => sB = 55 m

d) Construa os gráficos, no mesmo diagrama, dos espaços dos móveis A e B em função do tempo.

Resolução: Gráfico s x t ao lado. 

Exercício 4: Dois automóveis, A e B, deslocam-se numa pista retilínea com velocidades escalares vA = 20 m/s e vB = 15 m/s. No instante t = 0 a distância entre os automóveis é de 500 m. Qual é a distância que o carro que está na frente percorre, desde o instante t = 0, até ser alcançado pelo carro de trás? Considere os carros como pontos materiais.

Resolução: Adotando-se a origem dos espaços na posição inicial de A e orientando a trajetória de A para B, temos: Funções horárias: Carro A: sA = 0 + 20t (SI) e Carro B: sB = 500 + 15t (SI).

Encontro: sA = sB => 0 + 20t = 500 + 15t => t = 100 s. 

Espaço no instante do encontro: sA = 0 + 20.100 => sA = 2000 m.

A distância que o carro B percorre, desde o instante t = 0, até ser alcançado pelo carro A é d = 2000 m – 500 m = 1500 m. Resposta: 1500 m.

Exercício 5: Um trem de 300 m de comprimento atravessa completamente um túnel de 700 m de comprimento. Sabendo se que o trem realiza um movimento uniforme e que a travessia dura 1 minuto, qual é a velocidade do trem, em km/h?

Resolução: Durante a travessia cada ponto do trem (como o ponto de trás A) sofre uma variação de espaço Δs = Ltrem + Ltúnel = 300 m + 700 m = 1000 m. Portanto, v = Δs/Δt = 1000 m/60 s = (1000/60).3,6 km/h => v = 60 km/h.

Exercício 6: Dois carros, A e B, realizam movimentos uniformes. O carro A parte de São Paulo no sentido de Mairiporã e o carro B parte, no mesmo instante, no sentido de Mairiporã para São Paulo. A distância entre as duas cidades é de 42 km. A velocidade do carro A é de 80 km/h. Qual deve ser a velocidade do carro B para que os dois se cruzem a 30 km de São Paulo?

Resolução A: Carro A: sA = 0 + 80t (s em km e t em h). Para sA = 30 km, temos: 30 = 80t => t = (3/8) h.

Resolução B: Carro B: sB = 42 + vB.t (s em km e t em h). Para sB = 30 km e t = (3/8) h, temos: 30 = 42 + vB.(3/8) => vB = -32 km/h.

O sinal negativo obtido no valor de vB indica que o movimento de B tem sentido oposto ao adotado para a trajetória. Em módulo a velocidade de B é de 32 km/h.

© Direitos de autor. 2026: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 10/01/2026

Física Aplicada - Aula 11 - Cinemática de um corpo: Movimentos Retilíneos

Cinemática é o ramo da Física que estuda o movimento dos corpos e partículas (posição, velocidade, aceleração) sem se preocupar com as causas (forças) que o provocam; ela descreve o movimento usando conceitos como referencial, deslocamento e tempo, dividindo-se em escalar (sem vetores) e vetorial (com vetores), e é fundamental para entender movimentos retilíneos, quedas livres e circulares uniformes.

Referencial é um ponto (0) em relação ao qual identificamos se outro corpo está em em movimento ou em repouso.

• Um corpo está em movimento em relação a um determinado referencial quando sua posição, nesse referencial, varia no decurso do tempo.
• Um corpo está em repouso em relação a um determinado referencial quando sua posição, nesse referencial, não varia no decurso do tempo. 

Deslocamento é  distância percorrida pelo corpo entre o espaço inicial e final da trajetória. Os conceitos de movimento, repouso e trajetória dependem do referencial adotado. 

Trajetória de um móvel é o conjunto das posições sucessivas ocupadas pelo móvel no espaço no decorrer do tempo em relação a um dado referencial.

A Cinemática descreve os movimentos, determinando a posição (Variação do espaço), a velocidade e a aceleração de um corpo em cada instante.

• Espaço é a grandeza que determina a posição de um móvel numa determinada trajetória, a partir de uma origem arbitrária (origem dos espaços). A unidade de espaço no Sistema Internacional (SI) é o metro (m).
  

Variação de espaço (Δs): Seja s1 o espaço de um móvel num instante t₁ e s₂ seu espaço num instante posterior t₂. A variação do espaço do móvel no intervalo de tempo Δt = t₂ – t₁ é a grandeza: Δs = s₂ - s₁ .

Velocidade média é a rapidez com que é realizado o deslocamento de um corpo, que pode ser calculada através da seguinte fórmula: v_m = Δs/Δt . No Sistema Internacional (SI) a unidade de velocidade média é o metro por segundo (m/s).

Aceleração: Com o passar do tempo, a velocidade de um corpo pode mudar à medida que ele realiza o movimento. A aceleração de um corpo faz com que a variação da velocidade durante um trajeto aumente ou diminua em um dado intervalo de tempo. A fórmula para calcular a aceleração: a_m = Δv/Δt. Onde: ΔV: variação da velocidade (ΔV = Vf – Vi), velocidade final menos a inicial e Δt: variação do tempo (Δt = Tf – Ti), tempo final menos tempo inicial. Os termos inicial e final correspondem ao período de contagem do tempo, não importando se o carro ficou parado durante algum momento ou se houve variação de velocidade no percurso. No Sistema Internacional (SI) a unidade de aceleração média é o metro por segundo ao quadrado (m/s²).

Na cinemática temos o: Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) e o Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV).

Movimento Retilíneo Uniforme (MRU): Se em igual intervalo de tempo um corpo percorre sempre a mesma distância, seu movimento é classificado como uniforme. Sendo assim, sua velocidade é constante e diferente de zero ao longo do percurso. A velocidade é calculada pela variação da posição dividida pelo tempo: v_m = Δs/Δt. No Movimento Retilíneo Uniforme a velocidade não muda em uma trajetória realizada em linha reta. A posição do corpo na trajetória pode ser calculada pela função horária da posição: S = S₀ + V ⋅ t . Onde: S = posição final, em metros (m), S0 = posição inicial, em metros (m), v = velocidade, em metros por segundo (m/s) e t = tempo, em segundos (s). 

Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV): Se a velocidade variar em quantidades iguais no mesmo intervalo de tempo, o movimento é caracterizado como uniformemente variado. Sendo assim, a aceleração é constante e diferente de zero. O Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV) é caracterizado pela mesma quantidade de aceleração de um corpo em linha reta. Através da equação horária da velocidade é possível calcular a velocidade em função do tempo:  V = V₀ + a ⋅ t. 

Onde: V = velocidade final, em metros por segundo (m/s), V0 = velocidade inicial, em metros por segundo (m/s), a = aceleração, em metros por segundo ao quadrado (m/s²) e t = tempo, em segundos (s)

A posição do corpo durante a trajetória pode ser calculada através da seguinte equação: 

Onde: S = posição final, em metros (m), S0 = posição inicial, em metros (m), V0 = velocidade inicial, em metros por segundo (m/s), a = aceleração, em metros por segundo ao quadrado (m/s²) e t = tempo, em segundos (s). 

A equação de Torricelli é utilizada para relacionar a velocidade e o espaço percorrido no movimento uniformemente variado:

Onde: V = velocidade final, em metros por segundo (m/s), V0 = velocidade inicial, em metros por segundo (m/s), a = aceleração, em metros por segundo ao quadrado (m/s²) e ΔS = espaço percorrido, em metros (m). 

Movimento vertical

O movimento vertical (no vácuo), nas proximidades da superfície terrestre, é um movimento uniformemente variado, cuja aceleração escalar α é +g (quando a trajetória é orientada para baixo) ou -g (quando a trajetória é orientada para cima).

Na cinemática temos também o: Movimento Circular Uniforme (MCU) e o Movimento Circular Variado (MCV).

© Direitos de autor. 2026: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 02/01/2026

Física Aplicada - Aula 10 - Polias e roldanas: fixas e móveis

Polias ou roldanas são dispositivos mecânicos usados para tornar mais cômodo ou reduzir a força necessária para deslocar objetos com um grande peso. Esse tipo de máquina simples é composta por uma ou mais rodas, que giram em torno de um eixo central e possui um sulco por onde passa uma corda ou fio flexível, conforme a figura abaixo:
Relatos históricos indicam que as roldanas foram usadas pela primeira vez por Arquimedes (287 a.C. - 212 a.C.) para deslocar um navio.
Arquimedes foi um físico, matemático e inventor nascido em 287 a.C na colônia grega de Siracusa, na Sicília. Filho do astrônomo Fídeas, ele estudou na escola de Matemática de Alexandria, na qual teve contato com o que havia de mais tecnológico na época.
As polias podem ser móveis, quando apresentam movimento de translação, ou fixas, quando não possuem este movimento. Na prática, é muito comum utilizar a associação destes dois tipos de roldanas.

 Polia fixa

No dia a dia, você pode encontrar polias em oficinas, academias ou ate em obras. O objetivo desse instrumento é redirecionar a força que precisa ser aplicada. 

Figura 2 – Força aplicada a uma polia fixa

A polia fixa tem o seu eixo preso em algum ponto apoio, portanto, apresenta apenas movimento de rotação, não sendo possível o movimento de translação.

Elas modificam apenas o sentido e a direção da força motora que equilibra o peso. Desta forma, são utilizadas para tornar mais cômodo o trabalho de puxar um objeto.

Graças e esse instrumento que o pedreiro consegue fazer um saco de areia levantar puxando uma corda para baixo. Imagine um sistema com uma polia igual ao da figura 2.

Se o homem desejar manter a caixa em equilíbrio (lembre-se que equilíbrio é aplicar força resultante = 0) é necessário que todas as forças existentes na caixa se equilibrem. Para isso, temos a força peso da caixa em equilíbrio com a tração aplicada pelo fio. 𝑇 = 𝑃 .

Note que, como é o homem que esta puxando a corda, a força de tração aplicada pela corda é a força que o homem faz para puxar a corda. Logo: 𝐹=𝑃 .

Nas polias fixas não verificamos uma redução no esforço necessário para movimentar um objeto. Portanto, o módulo da força motora será igual ao módulo da força resistente (peso da carga a ser transportada).

Esse é um exemplo de polia fixa, onde essa polia fica presa em uma estrutura e só rotaciona. Mas podemos também ter um sistema com polias moveis como é o caso da figura 3.

Polia móvel

Diferente das polias fixas, as móveis possuem o eixo livre, desta maneira, possuem movimento de rotação e também de translação.

Figura 3 – Força aplicada se divide na  polia móvel

A força resistente que deve ser equilibrada encontra-se no eixo da roldana, enquanto a força motora é aplicada no extremo livre da corda.

A grande vantagem do uso das roldanas móveis é que reduz o valor da força motora necessária para movimentar um determinado corpo, entretanto, um comprimento maior de corda deverá ser puxado.

Diferente da polia fixa, onde o objetivo é apenas redirecionar (mudar direção e sentido) a força a ser aplicada, o objetivo da polia móvel é diminuir o modulo da força necessária para deixar um peso em equilíbrio (além de redirecionar a força). Para entender isso bem, imagine que alguém puxa a corda da figura 4 com o objetivo de deixar o bloco cinza em equilíbrio.

Figura 4 – Dinâmica de forças em uma polia móvel

Ao puxar a corda, você aplica uma força para mover a roldana móvel e esse movimento levantar o peso. Note que como a roldana móvel apresenta dois fios: um conectado a roldana fixa e outro ao teto. Por conta disso, a força peso se equilibra com a tração dos dois fios, fazendo com que parte da força vá para a pessoa que exerce a força e a outra parte seja feita pelo teto. Para a situação da figura 4 podemos dizer que a força que a pessoa precisa aplicar para levantar um corpo é de: 𝐹 = 𝑃/2.

Essa formula está presa a situação da figura 3, onde temos apenas uma roldana móvel, mas podemos montar uma expressão generalizada para poder encontrar o valor da força para qualquer numero de roldanas: 𝐹 = 𝑃/2ⁿ. Sendo “n” o numero de roldanas móveis que o sistema apresenta.

Quanto mais polias móveis, menor a força necessária, mas maior a distância que a corda precisa ser puxada, mantendo a conservação de energia (trabalho = força x distância). 

Fig. Ex. 01

Exercícios - Polias e Roldanas

Ex. 01 - (UFU-MG) - Na figura abaixo despreze as forças de atrito e calcule o valor da carga Q, sabendo que o rapaz exerce uma força de 25N para mantê-la em equilíbrio.

Resolução P₁: A polia superior (1) é fixa, logo a tração no fio da polia é a mesma: T₁ = F => T₁ = 25 N;

Resolução P₂: A polia intermediária (2) é móvel, logo a tração no fio da polia se divide: T₁ = T₂ / 2 => T₂= 25 x 2 => T₂ = 50 N;

Resolução P₃: A polia inferior (3) também é móvel, logo a tração no fio da polia novamente se divide: T₃= T₂ / 2 => T₃= 50 x 2 => T₃ = Q = 100 N;

Fig. Ex. 02

Ex. 02 - (FUVEST-SP) - Considere o esquema representado na figura abaixo. As roldanas e a corda são ideais. O corpo suspenso da roldana móvel tem peso de 550N.

a) Qual o módulo da força vertical (para baixo) que o homem deve exercer sobre a corda, para equilibrar o sistema?

Resolução P₁: A polia inferior (1) é móvel, logo a tração no fio da polia se divide: T₁ = P / 2 => T₁ = 550 / 2 => T₁ = 225 N;

Resolução P₂ : A polia superior (2) é fixa, logo a tração no fio da polia é a mesma: F = T₁ => F = 225 N;

b) Para cada 1 metro de corda que o homem puxa, de quanto se eleva o corpo suspenso?

Resolução b: Como a força caiu pela metade o deslocamento é o dobro, logo o corpo se leva 0,5 metros para cada metro de corda puxado.

Fig. Ex. 03

Ex. 03 - (MACKENZIE-SP) - Dispõe-se de um conjunto de fios e polias ideais para um determinado experimento. Quatro dessas polias são associadas conforme a ilustração abaixo, sendo três móveis e uma fixa. No fio que passa pela polia fixa, suspende-se o corpo de massa m e o conjunto é mantido em repouso por estar preso ao solo, por meio de fios e de um dinamômetro (d) de massa desprezível, que registra 400N. 

Qual é o valor da massa do corpo?

Resolução P_1-4: Como são 3 polias móveis, a tração no fio da polia se divide por 2³ = 8 . Então: 𝐹 = 𝑃 / 2ⁿ => 400 = 𝑃 / 8 => P = 50 N;
Resolução M₁ :  Admitindo g=10m/s² temos: P = M . g => 50 = M . 10 => M = 50/10 => M = 5 Kg;

Fig. Ex. 04

Ex. 04 - (UFABC-SP) - Um mecânico afirma ao seu assistente que é possível erguer e manter um carro no alto e em equilíbrio estático, usando-se um contrapeso mais leve do que o carro. A figura mostra, fora de escala, o esquema sugerido pelo mecânico para obter o seu intento.

Considerando as polias e os cabos como ideais e, ainda, os cabos convenientemente presos ao carro para que não haja movimento de rotação, determine a massa mínima do contrapeso e o valor da força que o cabo central exerce sobre o carro, com massa de 700 kg, quando esse se encontra suspenso e em equilíbrio estático. Dado: Adote g = 10 m/s².

Resolução P_1-3: Como são 2 polias móveis, a tração no fio da polia se divide por 2² = 4 . Então: 𝐹 = 𝑃 / 2ⁿ => 700 x 10 = 𝑃 / 4 => P = 1750 N;
Resolução C₁ :  Admitindo g=10m/s² temos: P = M . g => 1750 = M . 10 => M = 1750/10 => M = 175 Kg;

Fig. Ex. 05

Ex. 05 - (CESGRANRIO-RJ) - Um corpo de peso P encontra-se em equilíbrio devido à ação da força de intensidade F aplicada pelo homem da figura abaixo.

Os pontos A, B e C são os pontos de contato entre os fios e a superfície. A força que a superfíe exerce sobre os fios nos pontos A, B e C são respectivamente.

a) P/8, P/4, P/2      

b) P/8, P/2, P/4    

c) P/2, P/4, P/8     

d) P, P/2, P/4     

e) iguais a P

Fig. Ex. 06

Ex. 06 - (CEFET-SP) - Embora abrigue toda uma floresta, o solo amazônico constitui uma fina camada fértil. Após uma temporada de chuvas, um caminhão ficou atolado no solo desmatado. Rapidamente, providenciaram alguns cabos de aço e quatro roldanas.

Aproveitando-se da enorme inércia de uma colheitadeira, montaram a máquina simples da figura.

A solução encontrada permite que uma força resistente FR seja vencida por uma força potente FP

(A) duas vezes menor.

(B) quatro vezes menor.

(C) seis vezes menor.

(D) oito vezes menor.

(E) dezesseis vezes menor.

Fig. Ex. 07

Ex. 07 - (FUVEST-SP) - As figuras mostram dois arranjos (A e B) de polias construídos para erguer um corpo de massa M=8kg. As polias e os fios são ideais. Calcule as forças FA e FB, em Newton, necessária para manter o corpo suspenso e em repouso nos dois casos. (Considere g=10m/s²).

Resolução A_1-3: Como são 3 polias fixas, a tração no fio da polia não se divide. Então: 𝐹 = 𝑃 => 𝐹 = M . g => F = 8 x 10 => F = 80 N;

Resolução B_1-3: Como são 2 polias fixas e uma móvel, a tração no fio da polia não se divide por 2, então: 𝐹 = 𝑃/2 => 𝐹 = (M . g)/2 => F = (8 x 10) / 2 => F = 80 / 2 => F = 40 N;

Fig. Ex. 08 e 09.

Ex. 08 - (MACKENZIE-SP) - Admita que sua massa seja 60kg e que você esteja sobre uma balança, dentro da cabine de um elevador. Sendo g=10m/s2 e a balança calibrada em newtons, a indicação por ela fornecida, quando a cabine desce com aceleração constante de 3m/s², é:

Resolução E₁: Como são 2 forças de aceleração agindo sobre o corpo elas irão se somar, se o elevador estiver subindo, então: 𝐹 = M . (g + a) => F = 60 (10+ 2) => F = 60 . 12 => F = 720 N;

Ex. 09 - (UFMG-MG) - Qual é o peso aparente de um corpo de massa 10 kg que está dentro de um elevador que tem uma aceleração de 5m/s², dirigida para baixo? (admita g=10m/s²).

Resolução E₂: Como são 2 forças, uma de aceleração e outra ao contrário, agindo sobre o corpo elas irão se subtrair, pois o elevador está descendo, então: 𝐹 = M . (g - a) => F = 10 (10 - 5) => F = 10 . 5 => F = 50 N;

Resolução C₁ : Como o elevador está descendo a sacola irá parecer mais leve, sendo g=10m/s² temos: P = M . g => 50 = M . 10 => M = 50/10 => M = 5 Kg;

Ex. 10 - (UFB) - Um elevador de massa 1.000kg está subindo e acelerando com a=3m/s². No interior de sua cabine há uma pessoa de massa 70kg que se encontra sobre uma balança calibrada em newtons.

Fig. Ex. 09 e 10.

Considere g=10m/s² e despreze os atritos:

a) Calcule a indicação da balança

b) Determine a intensidade da força de tração em cada um dos três cabos do elevador da figura acima?

c) Se o elevador cair em queda livre (a=g), então não haverá compressão entre a balança e a pessoa e a mesma terá a impressão de “ter perdido peso”. Normalmente é usada em elevadores especiais ou em aviões em queda livre para acostumar os astronautas com a “ausência da gravidade”. Pense e responda: O que aconteceria se o elevador cair com aceleração a, tal que a > g?

© Direitos de autor. 2026: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 02/01/2026